52格格党

第718章 希尔伯特第一问（第2页）

“这就是幂集公理。”

“利用幂集公理，就能构造出一个新的更大的无穷集合，也就是2^N0=N1”

“N0，N1，N2，……直到阿列夫无限。”

“这里的无限用的是超穷序数ω，也就是从最初的N0开始，经过无限次幂集构造后得到的集合。”

“这一系列的数字就是所谓的阿列夫数。”

“在这之后，还可以利用构造幂集的方式继续创造更大的集合，比如类似于超穷序数中ε不动点的阿列夫不动点，满足α=Nα。”

“每一个超穷序数下标代表的是幂集构造的次数，是在无穷大领域的跳跃。”

手中绿色的树叶上流动的白色文字停留在了阿列夫不动点那里，李恒将这些文字全部抹去，接着道：

“这些属于扩展阅读的部分，回到连续统的问题。”

“自然数集的幂集的基数为N1，康托尔接下来又证明了这个集合无法与自然数集合之间形成一一对应。”

“也就是说，N1同样是不可数无穷。”

“证明自然数集的幂集不可数的对角线法证明与全体实数不可数的证明非常的相似。”

“现在，自然数的幂集和所有实数的基数都大于N0，一个很自然的想法就是，自然数的幂集基数是否和全体实数一样。”

“连续统的基数1？”

“这就是康托尔的集合论中最深刻的问题之一，在这个问题上遇到的困难也是导致他严重精神问题的重要原因。”

李恒轻轻弹了弹食指，将手中写满了白色粉笔字的绿叶扔了出去，这片绿叶在下一刻就覆盖了整间精神病。

在阿基里斯的视角中，这片叶子在同一时刻出现在了天地间的所有地方，上面演化着这个无穷小的无理数世界所有的可能性。

她在上面看到了无穷无尽的太阳，每一个太阳里都有牛顿和莱布尼茨。

树叶上也显照出无数个精神病院，里面有的枣树是光秃秃的，有的则依旧挂满了鲜红的红枣，不变的是那个白发苍苍眼神呆滞的躺平老头。

无论是哪一间精神病院，那里都有两个闯入此间，外貌形同双胞胎的小孩。

占尽未来，一切可能发生的都同时发生了，这些树叶上映照出的每一个世界都是与这里一样真实的存在。

那些是在不同世界中的阿基里斯，以及在她们身边的同一个李恒。

漫天绿叶消失不见，李恒将叶片收回掌心，指尖摩挲着上面的纹路道：

“在直觉上，这个结果似乎是很显然的。”

“康托尔用有理数序列表示实数的方法与戴德金分割得到的连续实数轴是等价的。”

“用二进制无限小数的形式来表示，一个无限长的数字序列，每一个位置上都有0和1两种可能。”

“一个无限大的宇宙，其所有可能的状态就是2^N0，占尽一个无限宇宙的所有可能性，就能跳跃到更高层次的无穷大。”

这种方式听起来就太简单了。

从有限到无限是一次占尽未来，从可数无限到不可数无限是第二次占尽未来。

虽然都叫做占尽未来，两者的难度却是全然不同的。

构造幂集虽然是无限领域的升级方式，但它远比从有限抵达可数无限要简单。

可数无限虽然是最小的无限，但对于有限的凡人具有不可达的性质，只有用无穷公理保证它的真实性。

实无限显然是真实存在的，但如何从有限抵达它？